波数空間での議論

検算。波数空間で考える。屈折率境界面を$xy$平面にとる。 $k_x$、$k_y$は保存されるので

$$dk_x\wedge dk_y=dk_x'\wedge dk_y'$$ (2.3)

極座標で

$$\left\{ \begin{array}{ll} k_x= & k\sin\theta\sin\phi\\ k_y= & k\sin\theta\cos\phi\\ \end{array}\right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll} k_x'= & k'\sin\theta'\sin\phi\\ k_y'= & k'\sin\theta'\cos\phi\\ \end{array}\right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll} dk_x\wedge dk_y= & k^2\cos\theta... ...eta'\wedge d\phi =k'^2\cos\theta' d\Omega \end{array}\right.$$

$k/n=k'/n'$だから(2.3)より

$$n^2\cos\theta d\Omega=n'^2\cos\theta' d\Omega'$$

(2.2)と合わせて(2.1)を得る。