体積要素

2つの座標系$(x^i)$、$(\tilde{x}^i)$を考える。

$$dx^i=a^i_j d\tilde{x}^j$$ (2.1)

ただし $a^i_j=\frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j}$。

$$dx^1\wedge ...\wedge dx^n =det(a^i_j) d\tilde{x}^1\wedge ...\wedge d\tilde{x}^n$$ (2.2)

計量を$g_{ij}$とする。 一般の反変ベクトル$u^i$、$v^i$に対して

$$\tilde{g}_{ij}\tilde{u}^i\tilde{v}^j =g_{kl}u^kv^l =g_{kl}a^k_ia^l_j\tilde{u}^i\tilde{v}^j$$ (2.3)

だから

$$\tilde{g}_{ij} =g_{kl}a^k_ia^v_j$$ (2.4)

従って

$$det(\tilde{g}_{ij}) =det(g_{ij}) \{det(a^i_j)\}^2$$ (2.5)

なので一般に

$$\sqrt{g} dx^1\wedge ...\wedge dx^n$$ (2.6)

が体積要素であることがわかる。ただし $g\equiv det(g_{ij})$。