曲面（曲線）に沿った光の多重反射
2次元平面内の曲線\({\bf r}(s)\)が与えられたとする。
ここで\(s\)は弧長（\(\left|\frac{d\bf r}{ds}\right|=1\)）。
この曲線の"内側"を下図のように光線が反射を繰り返して進んでいくとき
反射面から測った反射角\(\phi\)および反射点の位置的間隔\(d\)は
\[
\phi=c_1\,\chi(s)^{\frac 13}
\]
\[
d=2c_1\,\chi(s)^{-\frac 23}
\]
と書ける。ただし\(\chi(s)\equiv\left|\frac{d^2\bf r}{ds^2}\right|\)は曲線の
曲率。
\({\bf r}(s)\)は3階の導関数まで連続で\(\phi\ll 1\)であること
などは仮定する。
導出法
例
このように\(\phi\)や\(d\)はローカルに決まるので光線の経路上で曲線が
多少変形しても（変形していない場所では）その影響は受けない（反射点の位置自体は
一般的に動く）。
2014.09
2014/09/16 14:54:04
更新