明るさ

ここで光源として考える太陽のモデルとして表面は一様で黒体輻射している とする。従って太陽表面上で輝度は定数である（黒体輻射でなくても光源が光学的に 厚ければたぶんこれは成り立つ）：

$$I(q,p)=I_0$$

ただし$p$は外向きの任意の方向。スクリーン上の点の明るさ$L$をその点の近傍 のスクリーンに入射する単位面積当たりの 光のパワーとして定義する。そしてスクリーンを太陽表面すれすれに置いた 場合と光学系を通して太陽の像をスクリーン上に作った場合の明るさを比較 する（太陽の像の中心は光軸上にあるとし中心の明るさを考える）。 前者の明るさ$L_s$は

$$L_s=\int I_0\cos\theta d\Omega=\pi I_0$$

である。一方後者の明るさ$L_i$も輝度の保存則があるので積分の表式は同じになるが、一般に $\theta$の積分範囲が$\frac{\pi}2$までではなくそれより小さな値までとなる （最外周の光線が光軸と交わる角度・それも$\theta$と書くことにする）：

$$L_i=\pi I_0\sin^2\theta$$ (4.1)

従って一般に$L_i\le L_s$で、等号が成り立つのは $\theta=\frac{\pi}2$のとき、 となる。 正弦条件を満足する$F=0.5$の光学系では $\theta=\frac{\pi}2$なので $L_i=L_s$である。 一方放物面鏡の場合$F=0.25$で $\theta=\frac{\pi}2$となるが（それより F値を小さくしても光線がスクリーンの裏に回り込んでしまうので不透明な スクリーンはそれ以上は明るくならない・透明だとしてF値をより小さくしても スクリーンを太陽の「中」に突っ込んだ場合よりはたぶん「明るく」ならない） そのときやっと$L_i=L_s$である。