Abbeの正弦条件

軸回転対称光学系で光軸上の点$q'$とそれを含む微小面積要素$dS'$（法線は光軸方向）を 考え、それらは無収差で$q$、$dS$に結像されているとする （物体側の屈折率を$n'$、像側の屈折率を$n$とする）。

図 3.1: Abbeの正弦条件

$dS'$を通り$p'$方向の近傍の立体角$d\Omega'$内にある光束が$dS$上では$p$方向の近傍 の立体角$d\Omega$に対応しているとする。そのパワーを$dS'$、$dS$のそれぞれで 見積もると

$$I(q',p')\cos\theta' dS' d\Omega'=I(q,p)\cos\theta dS d\Omega$$ (3.1)

である。 $p':(\theta',\phi')$、 $p:(\theta,\phi)$と対応しているとすると $d\Omega'=\sin\theta' d\theta' d\phi'$、 $d\Omega=\sin\theta d\theta d\phi$ で、$\phi'=\phi$、 $I(q',p')/n'^2=I(q,p)/n^2$、また像倍率を$M$とすると$dS=M^2dS'$だから

$$n'^2\sin\theta'\cos\theta' d\theta'=M^2n^2\sin\theta\cos\theta d\theta$$ (3.2)

を得る。積分すると

$$n'\sin\theta'=Mn\sin\theta$$ (3.3)

が得られる。これがAbbeの正弦条件である。