自由落下・座標変換・ゲージ変換

座標変換

$$\left\{ \begin{array}{rcl} T&=&t \\ X&=&x+f(t) \end{array} \right.$$

を考える。

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac\partial{\partial t}&=&\f... ...l{\partial x}&=&\frac\partial{\partial X} \end{array} \right.$$

自由粒子のシュレーディンガー方程式

$$i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi$$

は

$$i\hbar\frac\partial{\partial T}\psi= -\frac{\hbar^2}{2m}\f... ...artial X^2}\psi -i\hbar\dot f(T)\frac\partial{\partial X}\psi$$

$\frac\partial{\partial X}$について1次の項 (右辺第2項)を消すためにゲージ変換

$$\psi=\exp\left(-i\frac{m\dot f(T)X}\hbar\right)\Psi$$

をすると

$$i\hbar\frac\partial{\partial T}\Psi= -\frac{\hbar^2}{2m}\f... ...{\partial X^2}\Psi -m\ddot f(T)X\Psi -\frac m2\dot f(T)^2\Psi$$

と今度は右辺第3項が余計なので結局ゲージ変換

$$\psi=\exp\left(-i\frac{m\dot f(T)X}\hbar +i\frac{mF(T)}{2\hbar}\right)\Psi$$

をすれば

$$i\hbar\frac\partial{\partial T}\Psi= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial X^2}\Psi -m\ddot f(T)X\Psi$$

と普通のシュレーディンガー方程式を得る。ただし $F(T)\equiv \int \dot f(T)^2dT$。