重心が静止している波束の場合

波動関数は(4)で与えられる。$t=0$で波束の広がりが一番小さくなって いるとすると$a$は実数($>0$)で

$$\exp\left(-\frac 12\frac{x^2}{a+\frac{i\hbar t}m}\right) =... ...\left(-\frac m{2\hbar}\frac{(\beta-it)x^2}{\beta^2+t^2}\right)$$ (7)

だから

$$\phi(x,t)=\frac m{2\hbar}\frac{tx^2}{\beta^2+t^2}$$

3次元的な波束の場合は $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$として

$$\psi(r,t)=\left(1+\frac{i\hbar t}{ma}\right)^{-\frac 32} \exp\left(-\frac 12\frac{r^2}{a+\frac{i\hbar t}m}\right)$$ (8)

だから

$$\phi(r,t)=\frac m{2\hbar}\frac{tr^2}{\beta^2+t^2}$$

となる。