屈折率界面

屈折率が$n$と$n'$の界面を考える。点$q$は界面上にあり$q$を含む微小 面積要素$dS$は界面内にあるとする。$q$を通る光線を考え$n$側の方向を $p$、$n'$側の方向を$p'$とする。

$$\frac{I(q,p)}{n^2}=\frac{I'(q,p')}{n'^2}$$ (2.1)

が言いたい（便宜上$n$側の輝度を$I$、$n'$側の輝度を$I'$と書いている）。

図 2.3: 屈折率界面

$dS$を通る光束のパワーを$n$、$n'$側で評価すると（界面での反射は考えない）

$$I(q,p)\cos\theta dS d\Omega=I'(q,p)\cos\theta' dS d\Omega'$$ (2.2)

であるが（$\theta$、$\theta'$は入射角）。 $\theta$、$\theta'$をそのまま極座標の$\theta$として使うことにして、 $d\Omega=\sin\theta d\theta d\phi$、 $d\Omega'=\sin\theta' d\theta' d\phi'$。 ここで$\phi=\phi'$、 $n\sin\theta=n'\sin\theta'$が成り立つから $d\phi=d\phi'$、 $n\cos\theta d\theta=n'\cos\theta' d\theta'$ より $n^2\cos\theta d\Omega=n'^2\cos\theta' d\Omega'$。 (2.2)と合わせて(2.1)を得る。