...である。 ¹⁾

$R^2\bigtriangleup=R^2\partial_R^2+2R\partial_R-L^2$だから $0=R^2\bigtriangleup R^nP_n(\cos\theta) =n(n+1)R^nP_n(\cos\theta)-L^2R^nP_n(\cos\theta)$より $L^2P_n(\cos\theta)=n(n+1)$。 このことから $\frac{P_n(\cos\theta)}{R^{n+1}}$にラプラシアンを 作用させるとやはり0となることと、 （$P_n(1)=1$と併せて）$P_n(\xi)$がLegendreの多項式であることがわかる。

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