Far Field

原点近傍の場は $\phi_n=R^nP_n(\cos\theta)$という形であった。 遠距離では $\phi_n=\frac {P_n(\cos\theta)}{R^{n+1}}$である。 ¹⁾
【例】双極子場（$n=1$）の場合 $\phi(R,\theta)=\frac{P_1(\cos\theta)}{R^2} =\frac{\cos\theta}{R^2}$。最初の公式では

$$\Phi = -R^2\int_0^\theta \phi_R \sin\theta d\theta$$ (1.18)

$$= \frac 2R\int_0^\theta \cos\theta\sin\theta d\theta$$ (1.19)

$$= \frac{\sin^2\theta}R$$ (1.20)

2番目の公式では

$$\Phi = \sin\theta \int_0^R \phi_\theta dR$$ (1.21)

$$= -\sin^2\theta \int_0^R \frac 1{R^2} dR$$ (1.22)

$$= \frac{\sin^2\theta}R+const.(\infty)$$ (1.23)

このように原点が特異点の場合は2番目の公式は使わないほうがいい （例えば原点に裸の電荷がある場合は実際誤った結果を与える）。

図 1.10: 双極子が作る電場。赤が電気力線、緑が等電位面。縦軸が$z$、 横軸が$r$。

gnuplot> set size square
gnuplot> set xrange [-1:1]
gnuplot> set yrange [-1:1]
gnuplot> set style line 1 lt 1 lw 2
gnuplot> set style line 2 lt 2 lw 2
gnuplot> set polar
gnuplot> set samples 720
gnuplot> mf(t,a)=sin(t+pi/2)**2/a
gnuplot> mp(t,a)=sqrt(abs(cos(t+pi/2)/a))
gnuplot> plot mf(t,1) ls 1,mf(t,2) ls 1,mf(t,3) ls 1,mp(t,1) ls 2,
  mp(t,2) ls 2,mp(t,3) ls 2
gnuplot> set output "dipole3d.eps"
gnuplot> set term postscript enhanced color eps
gnuplot> replot