一様電界中の誘電体／導体球

$z$方向の一様電界中に原点を中心とする半径$a$の誘電体球 （誘電率$\epsilon$）が置かれているとする（導体球の場合は $\epsilon\rightarrow\infty$とすればよい）。一様電界の スカラーポテンシャルは $\phi_0=-E_0 z=-E_0 R\cos\theta$で、 球を置くことによって対称性は崩されないので球外部、内部の スカラーポテンシャルは

$$\left\{ \begin{array}{ll} \phi_o(R,\theta)&=-E_0(R+\frac\a... ... \phi_i(R,\theta)&=-E_0\beta R\cos\theta \end{array}\right.$$ (1.24)

という形になる。 境界条件 $\phi_o(a,\theta)=\phi_i(a,\theta)$、 $\epsilon_0\partial_R\phi_o(a,\theta)=\epsilon\partial_R\phi_i(a,\theta)$ より $a^3+\alpha=\beta a^3$、 $\epsilon_0(a^3-2\alpha)=\epsilon\beta a^3$。 $\alpha=-\frac{\epsilon-\epsilon_0}{\epsilon+2\epsilon_0}a^3$、 $\beta=\frac{3\epsilon_0}{\epsilon+2\epsilon_0}$。

$$\left\{ \begin{array}{ll} \Phi_o(R,\theta)&=-E_0(\frac{R^2... ...\theta)&=-E_0\frac{\beta R^2}2\sin^2\theta \end{array}\right.$$ (1.25)

図 1.11: 一様電界中の誘電体球。半径$a=1$、誘電率 $\epsilon =3\epsilon _0$。

図 1.12: 一様電界中の誘電体球。半径$a=1$、誘電率 $\epsilon =3\epsilon _0$。

gnuplot> set contour base
gnuplot> unset surface
gnuplot> set isosample 100
gnuplot> unset key
gnuplot> set view 0,0
gnuplot> set size square
gnuplot> set xrange [-2:2]
gnuplot> set yrange [-2:2]
gnuplot> set cntrparam levels incremental 0.05,0.1,3
gnuplot> mf(x,y)=x*x+y*y>1? sqrt(x*x*(1/2.0+2/5.0/(x*x+y*y)**1.5)): sqrt(x*x*3/10.0)
gnuplot> splot mf(x,y)
gnuplot> set output "sphere.eps"
gnuplot> set term postscript enhanced color eps
gnuplot> replot
gnuplot> set output "sphere_c.eps"
gnuplot> mf(x,y)=x*x+y*y>1? sqrt(x*x*(1/2.0+2/5.0/(x*x+y*y)**1.5)): sqrt(x*x*9/10.0)
gnuplot> replot

球内部では電場は一様なのでやはり（？）線密度も一様でないと 違和感があるということで等高線の密度を$\sqrt\Phi$の 等高線が等間隔になるようにプロットしている。 また、図1.12では誘電体の内外で電気力線が連続に なるように$\Phi$ではなく$\epsilon\Phi$の 等高線をプロット（あまり意味ないけど）。