軸回転対称場の場合

スカラーポテンシャルを$\phi(r,z)$とする： $0=\phi_{rr}+\frac 1r\phi_r+\phi_{zz}$。

$$d\phi=\phi_r dr+\phi_z dz$$ (1.6)

これに直交する1次形式は

$$\omega=g(-\phi_z dr+\phi_r dz)$$ (1.7)

であるが、

$$\begin{array}{ll} d\omega&=dg\wedge(-\phi_z dr+\phi_r dz)-\f... ... &=(g_z\phi_z+g_r\phi_r-\frac gr\phi_r)dr\wedge dz \end{array}$$ (1.8)

なので、$g=g(r)$、$g_r=\frac gr$のときに一般に $\omega=d\Phi$となる関数$\Phi(r,z)$が 存在する。すなわち$g=r$、

$$\Phi=\int r(-\phi_z dr+\phi_r dz)$$ (1.9)

積分路を $(0,0)\rightarrow (0,z)\rightarrow (r,z)$と取ると

$$\Phi=\int_0^r -\rho\phi_z(\rho,z) d\rho$$ (1.10)

$\vert\nabla\Phi\vert=r\vert E\vert$だから等高線プロットの線密度は$\vert E\vert$ではなく $r\vert E\vert$に比例するので$z$軸の近くでは線が疎らになり不自然に感じ られるが

• 平面上で線の密度が$\vert E\vert$に比例するように描くことは不可能 （ある場所で比例するように描いても線をたどっていくと他の場所では そうならない）。
• $\Phi$を等高線プロットしたものを$z$軸の回りで等間隔で 回転させると$\vert E\vert$に比例した線密度が得られる。

なので理屈的には「自然」なはず、だが。。。。