原点近傍

$\nabla^2\phi_n(r,z)=0$となる$n$次の斉次多項式は

$$\phi_n(r,z)=n! \sum_{m=0}^{\left \lfloor {{n}\over{2}} \righ... ...,m} z^{n-2 m}}\over{2^{2 m} m!^2 \left(n-2 m\right)!}}}$$

従って

$$\Phi_n(r,z)= -{{{n!\over 2} \sum_{m=0}^{\left \lfloor {{n-1... ...\left(m+1\right) 2^{2 m} m!^2 \left(n-2 m-1\right)!}}}}}$$

$$\begin{eqnarray*} \phi_0(r,z)&=&1\\ \Phi_0(r,z)&=&0\\ \phi_1(r,z)&=&z\\ \Phi_... ...r^4}\over{8}}\\ \Phi_4(r,z)&=&{{3 r^4 z}\over{2}}-2 r^2 z^3 \end{eqnarray*}$$

図 1.9: 8重極場$\phi _4$（左）とそれに4重極場$\phi _2$を足したり 引くとリング状4重極場ができたり（中）上下の2つの4重極場に分裂 する様子。縦軸は$z$、横軸は$r$。