ラプラシアン

$$-(\partial_i \varphi,g^{ij}\partial_j\psi)=-(\varphi, \partial_i^\dag g^{ij}\partial_j\psi)$$ (2.7)

の左辺は座標系に依存しない量で右辺はユークリッド座標系では

$$(\varphi,\bigtriangleup\psi)$$ (2.8)

に等しいから一般に $\bigtriangleup=-\partial_i^\dag g^{ij}\partial_j$ である。

$$\begin{array}{ll} (\partial_i\varphi,\psi) &=\int (\partia... ...(\varphi,\frac{\partial_i(\sqrt{g}\psi)}{\sqrt{g}}) \end{array}$$ (2.9)

から

$$-\partial_i^\dag \cdot=\frac{\partial_i(\sqrt{g} \cdot)}{\sqrt{g}}$$ (2.10)

$$\bigtriangleup=\frac{\partial_i(\sqrt{g}g^{ij}\partial_j)}{\sqrt{g}}$$ (2.11)