直交座標

表記の都合上3次元の場合を扱うが一般の次元にもあてはまる。 $(g_{ij})$は対角行列なので平方根も簡単に取れて

$$\sqrt{(g_{ij})}=\left( \begin{array}{ccc} h_1&0&0 \\ 0&h_2&0 \\ 0&0&h_3 \end{array}\right)$$ (2.12)

$h_1=\sqrt{g_{11}}$等々。 $(g^{ij})$も対角行列で $g^{11}=g_{11}^{-1}=h_1^{-2}$等々。 $\sqrt g=h_1h_2h_3$。

$$\bigtriangleup=\frac 1{h_1h_2h_3} \{ \partial_1(h_1^{-1}h_2... ...2^{-1}h_3\partial_2) +\partial_3(h_1h_2h_3^{-1}\partial_3) \}$$ (2.13)