ガウス型波束の自由な時間発展

初期条件は

$$\psi(x,0)=\varphi(x)=\exp\left(-\frac{x^2}{2a}\right)$$

とする。すると

$$\left(a\frac d{dx}+x\right)\varphi(x)=0$$ (1)

時間発展演算子$U_t$：

$$\psi(x,t)=U_t\varphi(x)$$

シュレーディンガー方程式

$$i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(x,t)=H\psi(x,t)= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t)$$

から

$$i\hbar\dot U_t=HU_t(=U_tH)$$

演算子の時間発展：

$$A_t\equiv U_tAU_t^\dag$$

$$i\hbar\dot A_t=U_t[H,A]U_t^\dag$$

$$i\hbar\dot\frac d{dx}_t=0 \Rightarrow \frac d{dx}_t=\frac d{dx}$$

$$i\hbar\dot x_t=U_t[H,x]U_t^\dag =-\frac{\hbar^2}{2m}U_t\lef... ...}m\frac d{dx} \Rightarrow x_t=x+\frac{i\hbar t}m\frac d{dx}$$

$$\begin{array}{lll} 0&=&U_t\left(a\frac d{dx}+x\right)\varph... ...\hbar t}m\right)\frac d{dx}+x\right\} \psi(x,t)\\ \end{array}$$

従って

$$\psi(x,t)=f(t)\exp\left(-\frac 12\frac{x^2}{a+\frac{i\hbar t}m}\right)$$

少し書き直したシュレーディンガー方程式

$$\frac\partial{\partial t}\psi(x,t)= \frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t)$$

これを$x=0$で評価する

$$\dot f(t)=-\frac{i\hbar}{2m}\frac{f(t)}{a+\frac{i\hbar t}m} =-\frac 12\frac{f(t)}{t-i\frac m{\hbar}a}$$ (2)

積分して

$$\begin{array}{lll} \log f(t)&=&-\frac 12\log\left(t-i\frac... ...\frac 12\log\left(1+\frac{i\hbar t}{ma}\right)+C_1 \end{array}$$

結局

$$f(t)=\frac 1{\sqrt{1+\frac{i\hbar t}{ma}}}$$ (3)

$$\psi(x,t)=\frac 1{\sqrt{1+\frac{i\hbar t}{ma}}} \exp\left(-\frac 12\frac{x^2}{a+\frac{i\hbar t}m}\right)$$ (4)