検算・並進運動

初期状態は

$$\varphi(x)=\exp\left(-\frac{x^2}{2a}+ikx\right) =\exp\left... ...eft(x-i\beta v_0\right)^2 -\frac{m\beta v_0^2}{2\hbar}\right)$$

ただし $k=\frac{mv_0}\hbar$。すると

$$\left(a\frac d{dx}+x-ika\right)\varphi(x)=0$$ (6)

これから

$$\begin{array}{lll} 0&=&U_t\left(a\frac d{dx}+x-ika\right)\v... ...r t}m\right)\frac d{dx}+x-ika\right\} \psi(x,t)\\ \end{array}$$

従って

$$\begin{array}{lll} \psi(x,t)&=&f(t)\exp\left(-\frac 12\frac... ...} {\beta+it}-\frac{m\beta v_0^2}{2\hbar}\right)\\ \end{array}$$

ただし$f(0)=1$。これをシュレーディンガー方程式に代入し$x=i\beta v_0$ で評価すると(2)と同じ微分方程式を得るので$f(t)$は(3) で与えられる。従って(5)の結果と一致する。