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: 点電荷 : 電気力線・磁力線の描き方 : 電気力線・磁力線の描き方

二次元の場合

スカラーポテンシャルを\(\phi(x,y)\)とする: \(\phi_{xx}+\phi_{yy}=0\)。電場は
\begin{displaymath}
-d\phi=-\phi_x dx-\phi_y dy
\end{displaymath} (1.1)

これに直交する1次形式は
\begin{displaymath}
\omega=g(-\phi_y dx+\phi_x dy)
\end{displaymath} (1.2)

であるが、
\begin{displaymath}
d\omega=dg\wedge(-\phi_y dx+\phi_x dy)
\end{displaymath} (1.3)

なので、$g=1$とすれば$\omega=d\Phi$となる関数$\Phi(x,y)$が 存在する:
\begin{displaymath}
\Phi=\int (-\phi_y dx+\phi_x dy)
\end{displaymath} (1.4)

$\Phi(x,y)$の等高線プロットが電気力線となる。 または$g=g(\Phi)$としてもよかったが、$g=1$と取ると $\vert\nabla\Phi\vert
=\vert E\vert$なので等高線の密度=電界の強さとなっていて都合がいい。 関数$f$ $f\equiv\phi+i\Phi$で定義する。
\begin{displaymath}
\begin{array}{rl}
df=&\phi_x dx+\phi_y dy +i(-\phi_y dx+\phi_x dy)\\
=&(\phi_x-i\phi_y)(dx+i dy)
\end{array}\end{displaymath} (1.5)

だから($z=x+iy$とおいて$z$の関数として)$f$は解析関数である。 逆に$\phi=\Re f$$\Phi=\Im f$$\Re$: Re, $\Im$: Im)。





Morinaga Makoto 平成20年12月18日