二次元の場合

スカラーポテンシャルをとする： 。電場は

$$-d\phi=-\phi_x dx-\phi_y dy$$ (1.1)

これに直交する1次形式は

$$\omega=g(-\phi_y dx+\phi_x dy)$$ (1.2)

であるが、

$$d\omega=dg\wedge(-\phi_y dx+\phi_x dy)$$ (1.3)

なので、$g=1$とすれば$\omega=d\Phi$となる関数$\Phi(x,y)$が 存在する：

$$\Phi=\int (-\phi_y dx+\phi_x dy)$$ (1.4)

$\Phi(x,y)$の等高線プロットが電気力線となる。 または$g=g(\Phi)$としてもよかったが、$g=1$と取ると $\vert\nabla\Phi\vert =\vert E\vert$なので等高線の密度＝電界の強さとなっていて都合がいい。 関数$f$を $f\equiv\phi+i\Phi$で定義する。

$$\begin{array}{rl} df=&\phi_x dx+\phi_y dy +i(-\phi_y dx+\phi_x dy)\\ =&(\phi_x-i\phi_y)(dx+i dy) \end{array}$$ (1.5)

だから（$z=x+iy$とおいて$z$の関数として）$f$は解析関数である。 逆に$\phi=\Re f$、$\Phi=\Im f$ （$\Re$: Re, $\Im$: Im）。